【数Ⅱ】相加平均と相乗平均の違いとその大小関係

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相加平均と相乗平均の違いについて学びます。

相加平均

相加平均とは、これまで使ってきた平均というべきでしょうか。足し合わせたときの平均です。平均点を出すときに使う平均ですね。各教科の得点の合計を科目数で割るといった平均です。

つまり、読んで字のごとく、相加平均とは、相手をそれぞれ加えた平均ということです。

相乗平均

相乗平均とは、a>0,b>0のとき√abを掛け合わせたときの平均です。a>0,b>0という条件がつくのは,ルートの中は正になるという約束のためです。経済学などで使われます。

つまり、読んで字のごとく、相乗平均とは、相手をそれぞれ乗じた(掛け算)した平均ということです。

相加平均と相乗平均の大小関係

この2種類の「平均」の大きさを比べると,常に,(相加平均)≧(相乗平均)となります。

  • a≠b のとき,(相加平均)>(相乗平均)…①
  • a=bのとき,(相加平均)=(相乗平均)…②

①と②を合わせて,(相加平均)≧(相乗平均)となります。

つまり、a,bが正の数であれば,常に,(相加平均)≧(相乗平均)の関係が成り立ちます。

式にまとめると

  • (a+b)/2=√ab
  • すなわち
    a+b=2√ab

a,bが正の数であれば,常に,(相加平均)≧(相乗平均)の関係が成り立ちます。また、等号(=)が成り立つのは、a=b のときです。
この「相加平均,相乗平均の大小関係」は,a>0,b>0 のときに,「常に」成り立つので,不等式の証明では,「証明の道具」として使うことができます。

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