【数Ⅰ】式の値を求めるときの工夫(公式・パターンのまとめ)

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式の値を求めるときの工夫(公式・パターンのまとめ)まとめています。毎年、多くの高校生が戸惑うのがx5+y5の式を求める問題です。そのx5+y5の式を求める問題を含めて、ここでは、よく使う計算の工夫のパターンや公式をまとめています。

式の値を求めるときの工夫

よく出るパターンとしては、x=(   )、y=( )のとき、次の式を求めよという問題です。以下の時ですね。

  • x2+y2
  • x3+y3
  • x4+y4
  • x5+y5

これは、与えられた問題をそのまま当てはめるのではなく、工夫をすることで、随分、簡単に求めることができます。

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解放の手順<工夫>

まずは、x+yの和、xyの積の値を出します。その上で

  • x2+y2=(x+y)2-2xy
  • x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)
  • x4+y4=(x2+y2)2-2(xy)2
  • x5+y5=(x2+y2)(x3+y3)-(xy)2(x+y)

に代入し、解いていきます。

例題

普通与えられる値は、ルートの場合が多いのですが、例題ですので、与えられた値は整数で練習しています。

<例題>x=2、y=3のとき、次の式を求めよ。
(1)x2+y2
(2)x3+y3
(3)x4+y4
(4)x5+y5

解説・解答

まず、x+yの和、xyの積の値を出します。

x+y=5、xy=6

(1)x2+y2は、(x+y)2-2xyなので、そちらに代入。よって、25-12=13となり、13が答え。
(2)x3+y3は、(x+y)3-3xy(x+y)なので、そちらに代入。よって、125-90=35となり、35が答え。
(3)x4+y4は、(x2+y2)2-2(xy)2なので、そちらに代入。また、x2+y2は(1)より、13なので、それも利用すると、169-72=97となり97が答え。
(4)x5+y5は、(x2+y2)(x3+y3)-(xy)2(x+y)なので、そちらに代入。また、x2+y2は(1)より、13、x3+y3は、(2)より35なので、そちらも利用すると、13×35-36×5=275となり、275が答え。

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