高1数学「高校数学Ⅰの1学期定期テスト対策問題」

高1数学「高校数学Ⅰの1学期定期テスト対策問題」です。

【問題　高校数学Ⅰ】1学期定期テスト対策問題

【問1】整式の整理と加法・減法の問題

【問題DL】【1】整式の整理

【問2】乗法公式とその利用の問題

【問題DL】【2】乗法の公式とその利用

【問3】因数分解の問題

【3】次の因数分解をせよ。

（1）9x²+30xy+25y²
（2）3x²-10xy-8y²
（3）27x³+8y³
（4）x²+2xy+2x+6y-3
（5）2x²+xy-y²+x-5y-6
（6）x⁴-13x²+36
（7）x⁴+64

【問4】式の値の問題

（1）x+y
（2）xy
（3）x²+y²
（4）x³+y³

【問5】連立不等式の問題

次の（1）（2）の連立不等式を解け。（3）は問いに答えよ。

【問6】絶対値を含む方程式・不等式の問題

次の方程式、不等式を解きなさい。

（1）|x+4|=6
（2）|x+3|≦2
（3）|2x-3|>1
（4）3x-5=|x-3|
（5）|x+2|<2x

【問7】不等式の応用・文章題の問題

次の問いに答えなさい。
（1）1200円以内で、80円切手と50円切手を合わせて16枚買いたい。80円切手をできるだけ多く買うためには、それぞれ何枚買えばよいか、求めなさい。

（2）和が30である大小2つの数がある。小さい数を4倍すると大きい数よりも大きくなる時、小さい数の値の範囲を求めなさい。

（3）2つの容器A,Bがあって、Aには180cm³の水が、Bには80cm³の水が入っている。AとBから同じ量の水を汲み出し、Aの水の量がBの水の量の3倍以上5倍以下になるようにしたい。汲み出す水の量の範囲を求めよ。

【問8】2次方程式の解法の問題

次の2次方程式を解きなさい。
（1）x²+4x-2=0
（2）2x²-3x-1＝0
（3）9x²-6x+1=0
（4）x²-18=0
（5）2x²-3x-1=0
（6）3x²-5x-2=0

【解答・解説　高校数学Ⅰ】1学期定期テスト対策問題

【問1】整式の整理と加法・減法のポイント・解答

1. 整式は、xについて何次式かの問題は、xの最高次数を答える。
2. xについての降べきの順の整理は、整式をxについて整理し、次数の高い方（大きい方）から順に並べる。
3. 整式の加法・減法は、同類項どうしの和・差を計算する
4. 定数や数と同じように考えている文字は定数という。
5. 定数項は定数だけからなる項である。

【1】
（1）3次式
（2）x²の係数3　xの係数　定数項b
（3）3次式
（4）2次式
（5）2x²+(3y-5)x+(y²-4y+3)

【2】
（1）10x²+13x-1
（2）x²-11x+2

【問2】乗法公式のポイント：解答

高校生から新たに覚えるべき乗法の公式

（1）9a¹⁰
（2）2ｘ³+ｘ²+5ｘ+12
（3）6ｘ²-5ｘ-6
（4）8ｘ³-36ｘ²y+54ｘｙ²-27ｙ³
（5）8ｘ³-ｙ3
（6）a⁴-4a³-19a²+46a+120
（7）a²+4b²+c²+4ab-4bc-2ca

【問3】因数分解のポイント・解答

因数分解は、展開の逆なので、「乗法公式の逆」を使うことも多い。

（1）(3x+5y)²
（2）(x-4y)(3x+2y)
（3）(3x+2y)(9x²-6xy+4y²)
（4）(x+3)(x+2y-1)
（5）(x+y+2)(2x-y-3)
（6）(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)
（7）(x²+4x+8)(x²-4x+8)

【問4】式の値のポイント・解答

【問5】連立不等式の解説・解答

（1）の解説・解答

（2）の解説・解答

（3）の解説・解答
x=-1,2は解に含まれるから、この値を代入した不等式は成り立つ。
-2a＜-3＋a
4a＜6+a
の連立不等式を解いて、
1＜a＜2

【問6】絶対値を含む方程式・不等式のポイント・解説

絶対値を含む方程式・不等式は、絶対値記号をはずしてから解きましょう。

＜解法➊＞
a≧0のとき、|a|=a
a＜0のとき、|a|=-a

＜解法➋＞
※| |＝数字の場合は、以下の性質を利用して解くことができる。
|a|=aの解は、x=±a
|a|＜aの解は、-a＜x＜a
|a|＞aの解は、x＜-a、a＜x
（ただし、a＞0とする。）

（1）の解説
|x+4|=6より
x+4=±6
よって
x=2,-10

（2）の解説
|x+3|≦2より
-2≦x+3≦2
各辺から3を引いて
-5≦x≦-1

（3）の解説
|2x-3|＞1より、
2x-3＜-1、1＜2x-3
よって、x＜1,2＜x

（4）の解説
3x-5=|x-3|

(ⅰ)x-3≧0つまり、x≧3のとき
3x-5=x-3
x=1
条件x≧3を満たさない。

(ⅱ)x-3＜0つまり、x＜3のとき
3x-5=-(x-3)
x=2
条件x＜3を満たす

(ⅰ)(ⅱ)より方程式の解はx=2

（5）の解説
|x+2|＜2x

(ⅰ)x≧2のとき
x+2＜2x
x＞2
条件を満たす。

(ⅱ)x＜-2のとき
-(x+2)＜2x
ｘ>-2/3
条件を満たさない。
(ⅰ)(ⅱ)より方程式の解はx>2

【問7】不等式の応用・文章題の定期テスト対策問題の解説・解答

（1）の解説
80円切手をx枚買うとすると、
80x+50(16-x)≦1200
これを解くと
x＝13.3…
よって、80円は13枚、50円は3枚

（2）の解説
小さい数をxとすると、大きい数は30-xとなる。
x<30-x<4x
これを解くと
6<x<15

（3）の解説
汲み出す水の量をxcm³とすると、題意より
3(80-x)≦180-x≦5(80-x)

3(80-x)≦180-xより、x≧30…①
180-x≦5(80-x)より、x≦55…②

①②より30≦x≦55
よって、汲み出す水の量は
30cm³以上55cm³以下である。

【問8】2次方程式の解法のポイント・解答

＜2次方程式の解法の手順＞
➊平方根の利用　x²=数字
➋因数分解の利用　ab=0ならばa=0またはb=0
➌平方完成　x²+偶数x+数字=0
➍解の公式（偶数ver.）

➎解の公式

（1）の解説

（2）の解説
左辺を因数分解すると
(2x-1)(x-1)=0
したがって2x-1=0　またはx-1=0
これを解くと
x=1/2 , 1
（※1/2は、2分の1）

（3）の解説
左辺を因数分解すると
(3x-1)²=0
したがって 3x-1=0
これを解くと
x=1/3
（※1/3は、3分の1）

（4）の解説
x²-18=0
x²=18
xは18の平方根だから
x=±3√2

（5）の解説

（6）の解説